Oszukać prawdopodobieństwo

Kompromitacja Państwowej Komisji Wyborczej i związane z tym „dziwne” wyniki wyborów samorządowych budzą u wielu wyborców skrajne emocje. Oficjalnie podane rezultaty diametralnie różniły się od wyników sondażu IPSOS. Jaki jest problem z tą różnicą?

Wszystkie obliczenia, które zostaną wykonane niżej, można spokojnie powtórzyć na kartce papieru w domu. Polecam przetestować to na rezultatach wyborów w Państwa województwie. Poniższe wyniki zostaną przeprowadzone na podstawie tych z całego kraju dla trzech partii: PO, PSL oraz PiS.

Aby uniknąć skomplikowanych założeń, uprośćmy trochę nasz świat i załóżmy, że wyniki sondażu IPSOS w miarę precyzyjnie odwzorowują preferencje wyborcze tzw. typowego Kowalskiego. Póki co nikt nie zgłasza wątpliwości co do badania exit poll, dlatego uważam to założenie za rozsądne. Zwróćmy uwagę, że wyniki te są niezależne od tego, czy głos, który oddał wyborca, był ważny lub nie. Spróbujemy wykorzystać to w następującym rozumowaniu:

Prawdopodobieństwo tego, że dany wyborca oddał głos na partię X, możemy przedstawić jako sumę prawdopodobieństw tego, że głos został oddany na partię X oraz był ważny, a także tego, że głos został oddany na partię X oraz był nieważny. Możemy to zapisać w skrócie jako:

P(Partia = X) = P(Partia = X oraz Głos = Ważny) + P(Partia = X oraz Głos = Nieważny).

Zakładając, że sondaż IPSOS mierzy faktyczne preferencje wyborcze, możemy przyjąć, że:

P(Partia = X) = wynik z sondażu IPSOS.

Teraz policzmy prawdopodobieństwo tego, że oddany głos był oddany na partię X oraz ważny. Skorzystamy tutaj ze znanego ze szkoły średniej wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

P(Partia = X oraz Głos = Ważny) = P(Partia = X | Głos = Ważny) * P (Głos = Ważny).

Zauważmy, że zakładamy, że wyniki PKW są prawdziwe, a zatem:

P(Partia = X oraz Głos = Ważny) = Wynik X z PKW * Procent głosów ważnych.

Dokonując prostych obliczeń otrzymujemy zatem:

P(Partia = X oraz Głos = Nieważny) = Wynik X w sondażu IPSOS – Wynik X w PKW * Procent głosów ważnych.

Zmierzając do końca, prawdopodobieństwo, że głos oddany na Partię X był nieważny, wynosi:

P(Partia = X oraz Głos = Nieważny) / P(Głos = Nieważny) = (Wynik X w sondażu IPSOS – Wynik X w PKW * Procent głosów ważnych) / Odsetek głosów nieważnych,

Natomiast prawdopodobieństwo, że oddany nieważny głos był głosem na partię X, wynosi:

P(Partia = X oraz Głos = Nieważny)/P(Partia = X) = (Wynik X w sondażu IPSOS – Wynik X w PKW * Procent głosów ważnych) / Wynik partii X w sondażu IPSOS.

Oto wyniki powyższych obliczeń dla wymienionych wcześniej partii politycznych.

1. PiS:

– odsetek głosów oddanych na PiS wśród głosów nieważnych to 52% (sic!),

– odsetek głosów nieważnych wśród głosów oddanych na PiS to 35%.

2. PO:

– odsetek głosów oddanych na PO wśród głosów nieważnych to 31%,

– odsetek głosów nieważnych wśród głosów oddanych na PO to 21%.

W wypadku PSL dochodzi do ciekawego fenomenu, mianowicie: prawdopodobieństwo, że dany głos był jednocześnie oddany na PSL oraz nieważny, jest ujemne. Dlatego w tym miejscu zakładam, że IPSOS nie doszacował PSL o 3%, a zatem w rzeczywistości co piąty Polak oddał głos na PSL (zamiast sondażowych 17%). Wyniki w tym przypadku rozkładają się następująco:

3. PSL:

– odsetek głosów oddanych na PSL wśród głosów nieważnych to 3%,

– odsetek głosów nieważnych wśród głosów oddanych na PSL to 2%.

Z tej pobieżnej analizy wynika, że odsetek nieważnych głosów oddanych na PSL jest dziesięciokrotnie mniejszy od tego samego wskaźnika dla PO oraz ponad piętnastokrotnie mniejszy od wyniku PiS. Ponadto odpowiednio co trzeci i co piąty wyborca PiS i PO oddali nieważne głosy, podczas gdy wśród wyborców PSL ten nieszczęśliwy wypadek trafił się co pięćdziesiątemu wyborcy.